On cherche ici à étudié un oscillateur harmonique quantique à \(1D\).
Supposons un système à une position d'équilibre stable \(x_0\) soumis à un potentiel \(V(x)\).
Soit un Développement limité de \(V(x)\) autour de la position d'équilibre \(x_0\).
$$V(x)=V(x_0)+\left.\frac{dV}{dx}\right|_{x=x_0}(x-x_0)+\frac 12\left.\frac{dV}{dx}\right|_{x=x_0}(x-x_0)^2 + \circ((x-x_0)^2)$$
Comme \(x_0\) position d'équilibre stable, alors:
$$V(x)=V(x_0)+\frac 12k(x-x_0)^2$$
Lorsqu'un système physique est étudié autour de sa position d'équilibre peut être assimilé à un oscillateur harmonique.
$$H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac 12kX^2\quad\text{On n'oublie pas:} [X,P]=i\hbar$$
On adimentionne l'équation
$$\tilde X=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar} }X$$
$$\tilde p=\frac{1}{\sqrt{\hbar m\omega} }p$$
On trouve simplement: \([\tilde X,\tilde p]=i\)
Et:
$$H=\frac{\hbar m\omega }{2m}\tilde p^2+\frac 12 m\omega ^2\frac{\hbar}{m\omega} \tilde X^2$$
Soit:
$$H=\frac{\hbar\omega}{2}\left(\tilde p^2+\tilde X^2\right)$$
$$\tilde H=\frac{\hat p^2+\tilde X^2} 2\implies H=\hbar \omega \tilde H$$
On introduit les opérateurs création \(a^\dagger\) et annihilation \(a\):
$$a=\frac{1}{\sqrt 2}( \tilde X+i\tilde p)$$
$$a^\dagger=\frac{1}{\sqrt 2}(\tilde X-i\tilde p)$$
$$[a,a^{\dagger}]=1$$
Ce qui implique:
$$\tilde X=\frac{1}{\sqrt 2}(a+a^{\dagger})$$
$$\tilde p=\frac{i}{\sqrt 2}(a^{\dagger}-a)$$
$$\tilde X^2=\frac 12\left(a^2+aa^{\dagger}+a^{\dagger}a+a^{\dagger 2}\right)$$
$$\tilde p^2=\frac{-1}{2}\left(a^2-aa^{\dagger}-a^{\dagger}a+a^{\dagger 2}\right)$$
En les additionnant:
$$\tilde H=\frac 12 \left(\tilde X^2+\tilde p^2\right)=\frac 12\left(aa^{\dagger}+a^{\dagger}a\right)$$
Grâce à la relation: \([a,a^{\dagger}]=1\)
On trouve:
$$\tilde H=a^{\dagger}a+\frac 12$$
On note \(N=a^{\dagger}a\)
Finalement:
$$H=\hbar\omega\left(N+\frac 12\right)$$
Soit \(\ket{\phi_\nu}\) ket propre de \(N\) avec \(\nu\) en valeur propre:
$$N\ket{\phi_\nu}=\nu\ket{\phi_\nu}\implies\tilde H\ket{\psi_\nu}=(\nu+\frac 12)\ket{\phi_\nu}$$

1. \(N\) hermitique \(\implies \nu\in\Bbb R\)

\(N=a^{\dagger}a\implies N^{\dagger}=N\)

1. Le commutateur \([N,a]=-a\) et \([N,a^{\dagger}]=a^{\dagger}\)

\([N,a]=[a^{\dagger}a,a]=a^{\dagger}[a,a]+[a^{\dagger},a]a=-a\)
Lemme:
Soit \(\ket \phi^i_\nu\) un ket propre de \(N\) pour la valeur propre \(\nu\):
$$N\ket{\phi^i_\nu}=\nu\ket{\phi^i_\nu}$$

1. Les valeurs propres \(\nu\) son positives ou nulles
2. Si \(\nu=0\implies a\ket{\phi^i_\nu}=0\). Sinon \(a\ket{\psi^i_\nu}\) est ket propre de \(N\) avec la valeur propre \(\nu-1\)
3. \(a^{\dagger}\ket{\phi^i_\nu}\) est non nul

\(a^{\dagger}\ket{\phi^i_\nu}\) est ket propre de \(N\) avec la valeur propre \(\nu+1\)
Démo1: $$||a\ket{\phi^i_\nu}||\geq 0$$
$$||a\ket{\phi^i_\nu}||^2=\langle{\phi_\nu^i|a^{\dagger}a|\phi_\nu^i}\rangle =\langle{\phi_\nu^i|N|\phi_\nu^i}\rangle =\nu\langle{\phi_\nu^i|\phi_\nu^i }\rangle $$
Donc forcément positif car \(\nu\gt 0\).
Demo2:
$$||a\ket{\phi^i_\nu}||=\nu\langle{\phi_\nu^i |\phi_\nu^i}\rangle $$
Si \(\ket{\phi^i_\nu}\) normé, alors \(||a\phi^i_\nu||=\nu\)
Si \(\nu=0\), alors \(a\ket{\phi^i_\nu}=0\)

On peut ré